Na, ugye ez is egy olyan matematikai huncutság, amiről azt hitted, soha a büdös életben nem lesz rá szükséged. De azért ki tudod számolni? Nem megmocskolni kínkeservesen, hanem elegánsan, valamelyik bevált módszerrel a sok közül? Nekünk is utána kelletett olvasni, s egyik módszer sem tűnt ismerősnek, pedig elvileg ezelőtt 35 éve ezekből 9-10-es tanulók voltunk és olimpiászra is jártunk matekből, amikor a tanári becsvágy versenylóként tekintett ránk éppen. Most a prímszámra bontásos módszer tűnik a legszimpibbnek, amit például itt frissíthetsz fel. Mi azért a továbbiakban egy online kalkulátort használunk, mert a Windows számológépe nem képes erre és mi is lusták vagyunk. És közben elmélázunk azon, hogy mi lesz itt, amikor nem lesz villany és online kalkulátorok sem lesznek.
Szóval, aki teheti, az most rajzolgasson ezzel az online spirográffal, mert később ki tudja, fából készült tárcsákkal a barlang falára, elszenesedett pálcával körülményesebb lesz.
De haladjunk. Spirográf a téma most, nem a technikai armageddon.
Vegyünk egy egyszerű esetet, a fix tárcsa legyen 96 fogas, a forgó meg ennek fele, 48 fogas. Vagy a 96-os fixhez harmadakkora 32 fogas forgó tárcsát használunk.
Vegyünk egy egyszerű esetet, a fix tárcsa legyen 96 fogas, a forgó meg ennek fele, 48 fogas. Vagy a 96-os fixhez harmadakkora 32 fogas forgó tárcsát használunk.
A logika idáig tiszta, a fix fogaskerék (belső) kerületének a forgó tárcsa kétszer, illetve háromszor felel meg. Ilyenkor, ha a belső tárcsa egyszer járja végig a teljes körpályát, ezalatt kétszer, illetve háromszor kerül a ceruzánk ugyanolyan helyzetbe a fix részhez viszonyítva, mint a kiindulási állapot. Ezek az állapotok hozzák létre a huplikat. Egyszerűbben 96/48 és 96/32, vagyis kettő és három szirom keletkezik.
De mire kell a LKT (LCM) a bevezetőből? Arra, amikor egyetlen körbejárás után nem ugyanoda érkezik meg a ceruza. Nézzük a legnagyobb fix és a legkisebb rotort, 105 illetve 24 fogasak. 105 nem osztható maradék nélkül 24-gyel, tehát egyetlen körbenjárás végén nem kerül vissza a ceruza a kiindulási állapotba. Tovább kell forognia, amíg ez megtörténik és a vonal bezárulhat. Hányszor kell körbevinni a tárcsát és hány huplit kapunk a végén?
De mire kell a LKT (LCM) a bevezetőből? Arra, amikor egyetlen körbejárás után nem ugyanoda érkezik meg a ceruza. Nézzük a legnagyobb fix és a legkisebb rotort, 105 illetve 24 fogasak. 105 nem osztható maradék nélkül 24-gyel, tehát egyetlen körbenjárás végén nem kerül vissza a ceruza a kiindulási állapotba. Tovább kell forognia, amíg ez megtörténik és a vonal bezárulhat. Hányszor kell körbevinni a tárcsát és hány huplit kapunk a végén?
Nyilvánvaló, hogy addig kell pörgetni ezt a játékszamszarát, amíg a vonal visszaér a kiindulási pontjához. A megtett út a két tárcsa fogszámainak a legkisebb közös többszöröse lesz. [105,24] legkisebb közös többszöröse 840. Ezen a 840 fogacskán a 24-es tárcsa pontosan 840/24, vagyis 35 szirmot hoz létre. Számold meg, ha nem hiszed el.
A forgó tárcsán az írószer hegyének több lukacskája is van, a széléhez közel és egyre bennebb a közepe felé. Ezek nem a csúcsok számát befolyásolják (azt a fogak aránya határozza meg), hanem a csúcsok amplitúdóját. Az előbbi 96/32 a külső (piros), a középső (zöld), illetve a belső (kék) lukból rajzolva. És mindez 105/84-es arányszámmal (LCM 420, vagyis 420/84, vagyis ötágú görbét kapunk).
Ez a két ábra azt is nyilvánvalóvá teszi, hogy a kis rotorok nem képesek a görbe közepét elérni, a nagy rotor (a külső fogszám felénél nagyobb fogszámú) viszont megfelelő lukból rajzolva a görbe közepét is elérheti.
Bár az online spiro nem tökéletesen képezi le az igényesebben kialakított valóságos spirográfot, azért annak a melléklete használható az alapformák megtalálásához. A további tudáshoz a cikloisok (hipo- és epi-) felé vezet az út. Vagy a mandalák felé. De ezzel az eszközzel is érdemes tenni egy próbát:
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése