Nyitott és zárt végű csövek fizikája? Ugyanmár!

Nem az első eset, hogy újra felfedezünk valami létező fizikai szabályt, vagy törvényszerűséget (vagy földrajzi helyet). A Nagy-Grimpix-Sejtésekkel csupán az a baj, hogy bár beigazolódnak, de sosem utólag (erre járna a Nobel-díj, vagy hírnév, esetleg egy fotó a fizikakönyvben), hanem mindig évszázadokkal előbb, mint ahogy arra Grimpix rásejtene. Na, pont így jártunk azzal is, hogy rájöttünk: a zárt és nyitott végű csövek fizikája nem pontosan írja le a tapasztalatokat. És akkor még finom voltam. De nézzük először az ideális esetet, amiben az egész neten  kurva nagy a konszezus (aztán m;lyebbre haladva már nem így lesz).

 (Egyik végén) zárt cső VS mindkét végén nyitott cső:

Forrás A cián szín jelzi a hullám mozgását, a piros meg a nyomást.

Az ábra nagyon megtévesztő, a hullámok igazából longitudinálisok, de annak az ábrázolása kevésbé lenne szemléletes. A Wolfram szimulátorán többféle megjelenítés közül lehet választani, érdemes egy kört tenni ezen, hogy el tudjuk képzelni a láthatatlant:

csak egy példa, ez a harmadik harmonikus ábrázolása nyitott csőben
longitudinális sűrűség és transzverz hullám megjelenítésével

Az állóhullámban az alacsony és magas nyomású részeket ebben a videóban szemléltetik nagyszerűen.

Nyitott cső: 

Nyitott csőben a kialakuló állóhullám állítólag fél hullámhossz. Vagyis olyan (alap) hangot ad ki, aminek a hullámhossza a cső hosszának kétszerese.

Például 20 Celsiuson a hang terjedési sebessége 343,15m/s, a nyitott cső fél hullámhosszú állóhullámot tesz lehetővé, tehát a hullámhossz = 2*L (a csőhossz kétszerese). Innen a frekvencia így kapható meg.
f= v/2L = 343.15 / 2*L =  Hz. 
Másképpen megközelítve a dolgot, mekkora nyitott-nyitott csővel lesz az (alap) hang 220Hz? λ =v/f  vagyis λ =343,15/220, a hullámhosszunk 1,55977 méter, a csövünk meg ugye fél hullámhosszú, tehát 0,779 méter. 

Nézzük meg, egy adott cső hangját hogyan és mennyire befolyásolja a levegő hőmérséklete. Levegő hőmérséklet kalkulátor.
- 10 Celsiuson  f= v/2L, vagyis 337,24/2*0,779885 = 216.3Hz
- 20 Celsiuson  f= v/2L, vagyis 343,14/2*0,779885 = 220.1Hz,
- 30 Celsiuson  f= v/2L, vagyis 348,94/2*0,779885 = 223,8Hz,
Észrevehető, hogy a 20 Celsiuson ez a kalkulátor 343,15 helyett 343,14-et ad meg, és ez a különbség elég ahhoz, hogy 0,1Hz eltérést kapjunk, ami 0,7 cent eltérés hangolásban (cent Hz kalkulátor),  ami még nagyon jó hallással sem észlelhető. A 10 Celsius eltérés viszont 28-30 cent környékén okoz eltolódást, amit már a botfülűek is meghallanak. Kérdés azonban, hogy van e ekkora eltérés a a valóságban, vagy mindig testmeleg levegővel kell számolni (mondjuk fagyban, szabadtéri játszás esetén el tudom képzelni, hogy a csőbe fújt levegő számottevően lehűl)
Lássuk mit okoz a pontatlanság a csőhossz mérésében. 0,779-cel számolva 220.24 Hz az eredmény, de egy tizedessel pontosabban, 0,7798 esetén már 220,01Hz, viszont 0,78-ra kerekítve 219,96Hz vagyis egy milliméteres pontatlanság +/- irányba 2 cent eltérés eredményez.

A legelső ábrán mutatja (cián színnel), hogy a felharmonikusok miként keletkeznek. A szabad végeken 1-1 antinode, középen egy node van (itt nem mozog a levegő)  - ez egy fél hullámhosszt ír le. Ha hozzáadunk egy antinodot és egy nodot, akkor megkapjuk a következő harmonikust (az alaphang oktávját, vagyis egy csőhossznyi hullámhossz), és így tovább:

Forrás

Ha az utolsó oszlopba az L méretű csövünk harmonikusait kiszámítjuk, azt kapjuk, hogy azok rendre az alapfrekvencia egész számú szorzatai. 

Képlet a frekvenciákra: fn = n * f1

ahol n egész szám, fn a harmonikus frekvenciája, f1 pedig az alapfrekvencia. Fenti példánkban a 220Hz egész számú többszörösei. 

A fenti példánknál maradva, ha L= 0,779 m akkor 2/1*L=  220Hz, aztán szerre, 440Hz, 660Hz, 880Hz, 1100Hz, 1320Hz, 1540Hz, 1760Hz, 1980Hz és 2200Hz. Gyakorlatban, hogyha a nyitott csőnek számító sípunkba egyre erősebbet fújunk, akkor szerre ezek a hangok fognak megszólalni. 

Zárt cső 

esetén a cső hossza negyed hullámhossz, vagyis egy oktávval mélyebb, mint a nyitott, ugyanakkora cső, vagyis c/4xL

A szabad végen 1 antinode, a zárt végen egy node van, ez egy negyed hullámhossz. 

Forrás

Szükségünk lehet egy hullámhossz - frekvencia kalkulátorra. A fenti 0,7798 méteres csövünk végét befogva így 110Hz majd rendre 330Hz, 550Hz, 770Hz, 990Hz (és így tovább) kellene megszólaljon.
Észrevehető, hogy a nyitott csővel ellentétben, csak páratlan felharmonikusokat enged meg a zárt cső.
fn = n * f1 ahol n csak páratlan egész szám lehet.

Még egy összehasonlító táblázat, amiből kiderül, hogy a zárt cső esetén miért csak a páratlan felharmonikusok vannak jelen (de amúgy jelen vannak a párosak is, csak nagyon elnyomva), nyitott cső esetén pedig az összes felharmonikus jelen van. 

Forrás

Az eddigiekből következik, hogy a hosszabb cső mélyebb hangot okoz (zárt és nyitottaknál egyaránt), a dupla csőhossz, egy oktávval lesz mélyebb. A tologatós síp is így működik.  A sima síp nyitott csőnek számít, a lamella felőli rész és a túlsó vége szintén antinode. Ha befogom a végét, vagy tolódugattyút teszünk bele, egyik végén zárt cső lesz belőle,  mélyebb lesz a hangja egy oktávval.  

Na de itt ért minket a felismerés, hogy van olyan hangszer, ami mindkettőt egyesíti. Hát ez bizony a tilinkó. Ami ugye nem furulya, csak a végét lehet befogni, ezzel a mindkét végén nyitott csőből, egyik végén zárt csövet származtat a művész és így mindkettő fizikáját, felhangkészletét a zene szolgálatába tudja állítani. 

A tilinkó egyik felén síppal szerelt akkora cső, hogy még elérjük a végét, hogy tenyerünkkel, ujjainkkkal be tudjuk tapasztani. A képen egy bolti A-hangolású és egy fűtéscsőből házilag reszelt valamivel rövidebb, jelenleg hangolatlan tilinkó látható. Mivel A már nem tud lenni, mert annál rövidebb és hozzáreszelni nem tudok, csak kireszelni belőle, valószínűleg B, vagy C lesz belőle. De még nem tartunk ott, hogy a leszabását tizedmilliméterre meg tudjuk állapítani. 

Szóval haladjunk tovább. Lássuk mit tud a bolti A-tilinkó. A valóságban nyitott-nyitott végeknél 220-439-668-891-1113-1348Hz voltak a méréseink. 

Nyitott-zárt végek esetén pedig 331, 557, 785, 1008 és 1945Hz hangokat mértünk. Az alap 110Hz-et nem sikerült megszólaltatni, de a 331-es mérésen jól látszik, hogy jelen van az is, csak éppen a 331Hz ledominálja. Mindenesetre elképzelhető, hogy egy képzett tilinkós azt is ki tudná hajtani belőle.

A hangok így, a ChatGPT táblázata szerint, eképpen alakulnak  (ha ki akarod számolni, itt egy frekvencia- zenei hang kalkulátor):

Felhangok (O-O: nyitott–nyitott; alap: 220 Hz = A3)

index	frekvencia (Hz)	temperált hang (closest)	eltérés (cents)	megjegyzés
1	220.00	A3	0.00 ¢	O-O (alap)
2	440.00	A4	0.00 ¢	O-O
3	660.00	E5	+1.96 ¢	O-O — nagyon közel (≈2 cent)
4	880.00	A5	0.00 ¢	O-O
5	1100.0	C♯6	−13.69 ¢	O-O — már érezhető eltérés (kb. −14 cent)
6	1320.0	E6	+1.96 ¢	O-O
7	1540.0	G6	−31.17 ¢	O-O — nagy (≈−31 cent), „természetes 7.”
8	1760.0	A6	0.00 ¢	O-O
9	1980.0	B6	+3.91 ¢	O-O — még elfogadható (≈+4 cent)
10	2200.0	C♯7	−13.69 ¢	O-O
11	2420.0	D♯7	−48.68 ¢	O-O — erősen „hamis” a temperált fülhöz
12	2640.0	E7	+1.96 ¢	O-O

„Quarter-wave” (O-Z: nyitott–zárt) sor (alap 110 Hz)

index (odd)	frekvencia (Hz)	temperált hang (closest)	eltérés (cents)	megjegyzés
1	110.0	A2	0.00 ¢	O-Z (fundamentum elméletben)
3	330.0	E4	+1.96 ¢	O-Z (3·110) — jól illeszkedik
5	550.0	C♯5	−13.69 ¢	O-Z
7	770.0	G5	−31.17 ¢	O-Z — jellegzetes 7-es torzulás
9	990.0	B5	+3.91 ¢	O-Z
11	1210.0	D♯6	−48.68 ¢	O-Z — nagyon eltolódott a temperált rendszerhez képest

A kalkulátorral picit más cent-értékeket kaptunk, de a lényeg ugyanaz. A-B-Cisz-E-G pentaton hangsorunk van a tilinkón, ami eltér a dúr (A – B – C# – E – F#), de eltér a moll / blues  pentatontól (A – C – D – E – G) is. 

Visszatérve a legelejére. A tilinkónak 77,98 centiméternek kellene lennie. Arra nem találtam megnyugtató választ, hogy pontosan mettől meddig, a teljes hossz, vagy csak a beömlő nyílástól, vagy a levegőosztótól. De az én tilinkóm összesen csak 75cm! Hogy?

Hát úgy, hogy az ideális csőmodelltől eltérően a valóságban a hullámok, csomópontok kicsit kilógnak a nyitott csőből. Hogy mennyire, az sok mindentől függ, de leginkább a cső  belső átmérőjét szokták megnevezni felelősnek, egy szélesebb csőből jobban kilógnak ezek a pontok. 

A Bart Hopkin-féle Musical instrument design könyvben a 167, oldalon ki is fejti, hogy miért. Mindenesetre az egyik végén zárt cső effektív hosszát (az állóhullámok kilógását a csőből) úgy szokták egyszerűsítve számolni, hogy hozzáadják a csőátmérő egyharmadát. A mindkét végén nyitott csőhöz meg az átmérő kétharmadát szokás hozzáadni. Persze a dolog ennél komplexebb, frekvenciafüggő is, aztán pláne akkor válik bonyolulttá, hogyha nem hengeres az alak, további változókat visz a rendszerbe a rezgő is. Arról nem  is beszélve, hogy a ChatGPT szerint a síp felőli oldal csak félig nyitott cső.  De ezeket most hagyjuk. 

Igen ám, de a tilinkóm belső csőátmérője 2,5 cm. Ez 0,3-mal szorozva 0,75cm, amit ha mindkét végéhez hozzáadok a cső mért hosszához, akkor is csak 76,5cm effektív hosszt kapok. A csőhossz-kalkulátor szerint ekkora hosszal 336m/s levegő-sebességgel mérhetnék 220Hz rezonancia frekvenciát. Ekkora sebesség viszont 7 Celsiusnál alakul ki.
Szóval hiányzik még 1,48 centiméter. Lehet, hogy a tilinkóm nod és antinodjai belelógnak a számba is két centire? Még jó, hogy nem ötven centi hiányzik, s így nem a farzsebemben zizeg az a hülye fizika.