Tiszta vs kiegyenlített hangolás

Az világos, hogy a zene, nem az egyes hangok hangmagasságán alapszik, hanem a hangközökön. Mondjuk, kivéve a White Stripe One note című koncertjét, mert abban a hangköz két performansz közé esik. Annál nem úgy számolunk hangközt, hogy kis- és nagyterc, vagy kis- és nagyszekund, hanem inkább úgy, hogy kiskarácsony, nagykarácsony. 

A nyugati zenében a hangközök leírhatók aránypárként, a két hang frekvenciájából. Mondjuk egy kvint hangköz: 3/2 vagyis az alaphang két rezgésideje alatt a kvintje hármat rezdül. Ez eddig ilyen egyszerű. 

A4, 440Hz*3/2 = E5, 660Hz (tiszta hangolás esetén). A-nak E a kvintje. De fordítva is igaz A4 440Hz *2/3  = 293.333Hz, ami a D4 hang. Tehát a D4 és A4 között is kvint távolság van, de ezt úgy tanítják a kezdő gitárosnak, hogy D-nek A a kvintje. 

Mivel diatonikus, kromatikus skálán gondolkodunk, az oktávval (dupla frekvencia) újra kezdődik a hangsor, ezért az arányok így is igazak maradnak: 3/4 = 6/2 = 6/4 ugyanis ezek is mind ugyanazt a hangot jelentik, csak nem ugyanazon az oktávon belül, hanem fennebb, vagy lennebb. A4 re E3, E4, E5 vagy E6. Ha ez eddig , akkor ugorhatsz, ha nem, akkor legyen egy másik példa erre:

Vegyünk most egy másik, cselesebb aránypárt, 5/3. Mondjuk C4 és A4 között. Szext, kilenc félhang. (Kiegyenlített hangolásnál ez 900 cent lenne.)  De van egy képletünk, ami két hang arányát megmondja centben: X cent=log(a/b)*1200/log(2), vagyis X cent  = log(a/b)* 3986,3137.
a/b helyére behelyettesítve:

5/3 = 884,35 cent (kiegyenlített hangolásnál 900 cent)
10/3  =  2084,35 cent (vagyis 900 cent + egy oktáv, ami 1200 cent)

20/3  =  3284,35 cent (vagyis 900 cent + két oktáv, ami 2400 cent) 

De másik irányba is igaz:     

5/6  =  -315,641 cent (vagyis 900 cent - egy oktáv, ami 1200 cent)
5/12  =  -1401,577 cent (vagyis 900 cent - két oktáv, ami 2400 cent) 

Tehát ezzel a C4-hez képest az  A2-A3-A4-A5 hangokat tudtuk megcélozni.

Az előbbi példákban az látszik, hogy a tiszta hangolású aránypárok nem pontosan 100 centre jönnek ki, pl. 884,35 cent a 900 helyett és így tovább. Tehát a tiszta hangolás ezeket a mágikus arányokat használja és fittyet hány a 100 centtel oszthatóságra.

A wiki nem segített megérteni, miért pont ezek a hangközök szerepelnek a ma használt skálában, de fogadjuk el, hogy vannak ezek a történelmileg letisztult, emberi fülnek kedves arányok, amik skálává konszolidálódtak az idők során. Történelmi, fizikai és matematikai okai is vannak, a youtubon sokan magyarázzák, de nem túl meggyőzően.  Az alábbi ábra kicsit talán segíthet a hangközök matematikáját megérteni:

Forrás

FONTOS, hogy a hangok közötti távolságot úgy adjuk össze, hogy összeszorozzuk az arányokat. Vagyis C-E közötti 5/4f az úgy jön ki, hogy pl. összeszorozzuk a C-D közötti 9/8-at és a D-E közötti 10/9-et. 9/8 * 10/9 = 1,25 ami = 5/4.
Másképpen: a C-A közötti 5/3 arányból ha kivesszük a G-A közötti arányt (10/9), akkor a C-G közötti arányt kapjuk, tehát a törtek osztásával vonjuk ki az arányt: (5/3) / (10/9) = 3/2

Itt találtunk egy másik leírást is. 

Felül a linkről kifogott kép, alatta pedig a mi értelmezésünk arról, hogyan kell ezekből az arányokból frekvenciákat számolni.  C4-C5 oktávját ábrázoljuk a frekvencia szerint (a vízszintes tengelyen a mm=Hz)  Úgy is felfogható ez, mint egy C4-re hangolt üres húr hossza a nyaknál és a 12. bundnál fogva.

Ha pontosan ezeket az arányokat használnánk a hangolásra, akkor tiszta hangolásról beszélhetnénk. A szakirodalom viszont felhívja a figyelmet, hogy ez gondot okozna a zene transzponálása során. Ezt próbáljuk megérteni. 

Vagyis ha mondjuk C-ben van a metál és abban reszeljük a kvinteket (C-G), de valamiért ezt át akarjuk tenni D-be, akkor a D-A kvint nem ugyanúgy fog szólni? 

Az ábra segítségével számoljuk ki C-G között az arány 3/2, vagyis 1,5. De ha összeszorozzuk az egyes lépéseket, akkor szintén: 9/8 * 10/9 * 16/15 * 9/8 = 1,5 
261,63*1,5 = 392,445Hz  Ez 701,95 cent, ami majdnem 700, mint a kiegyenlített hangolásnál. 
De most számoljuk ki ezt D-től kezdve A-ig. Ha a 3/2 aránnyal számolunk, akkor 441,49Hz jönne ki. De ha leszámoljuk a hangközöket 10/9 * 16/15 * 9/8 * 10/9 = 1,48 Így az A hangunk 435,612Hz lenne csak. A hangköz pedig 678,71cent.  Ez bő 23 cent különbség C-G és D-A között tiszta hangolás esetén. 

Ezt a problémát küszöböli ki a kiegyenlített hangolás, ami csak egyetlen tiszta hangközt tartalmaz, az oktávot, az összes többi hangköz valamennyire eltér a tiszta hangolástól. Ennek frekvenciáit itt találod.  Matekjét meg ebben a bejegyzésben fejtegetjük. 

Ez pedig egy összesítő táblázat az arányokról és frekvenciákról A4 és A5 között kiszámolva: