2021. júl. 22.

Üveghang - minden hang egy akkord

Na jó, ezt a mondást sem mi találtuk ki, hanem McGowan, aki nem úgy emmszí, ahogy sokan, hanem csak így hívják és ebben a posztjában mondja el, miért is akkord minden hang. Nyilván az állítást bizonyos keretek között érdemes csak értelmezni. Csapjunk bele. Vegyünk egy A2 húrt, ami 110Hz, ezzel könnyű számolni. 

Muszáj voltunk csinálni egy saját ábrát, hogy ezzel megértsük a harmonikusokat. A gitár nyakát látjuk a nyak felül, a híd alul van. Méretarányos, egy 648-as skálájú gitárra. A V., VII, XII. bund pöttyel jelölve. 

A megpengetett A2 húrunk sokféleképpen rezeghet egyszerre, ezek az összetett rezgésmintázatok azonban külön válogathatóak. Kialakulhat egy állóhullám úgy, hogy a fix híd és fix nyak között egyetlen nagy félhullám lesz, vagyis a teljes húr le-föl/ide-oda mozog. Ez a húr alaphangja, n1

A megpengetett húr azonban tartalmazhat különböző arányban rengeteg más (a hangszerre jellemző) felharmonikust is, mi az ábrán csak n8-ig jelöljük, de jóval több is lehet. Az X-ek, azok a pontok, amiket megérintve kiolthatunk bizonyos felhangokat, más felhangok javára. Ezekből a pirossal jelzettek a legismertebb pontok, a XII., VII., V. és IV. bundok környékén. Értelemszerűen bármelyik pontot megérintve a húron, az n1-es alaphangot eltompítjuk, tehát az már nem fog szólni. 

Az üres megpengetett A-húr hangképe látszik legfelül, 110Hz és rengeteg harmonikusa. 

A húrban kialakulhatnak más  állóhullámok is, például középen egy mozdulatlan csomóponttal (n2), ilyenkor a húrhossz megegyezik a hullámhosszal és az alaphangtól egy tökéletes oktávot kapjuk: P8 (A3-220Hz)

Ha ujjunkkal csak megérintjük a teljes rezgő húr közepét, megszólal az alaphang oktávja, vagyis kierősödik az ábrán a 220Hz, n2. Mivel a húr közepét ujjunk nem engedi rezegni, az alaphang nem tud megszólalni, továbbá kioltja a harmadik, ötödik felharmonikusokat is, mivel azok rezgését is gátolja az ujjunk- lásd az ábrán). 

A harmadik spektrogram amikor a húrt egyharmadánál megérintve 330Hz szólal meg, n3, ami az n2 kvintje, ezt két pontban is megszólaltathatjuk (a VII. és a XIX. bundnál). Nem oltja ki a hatodik felharmonikust, de az összes többit igen.

És így tovább, n4, vagyis 440Hz, ami az alaphangtól két oktáv.

n5, 550Hz, ami az n4-től egy nagyterc (C#).

n6, vagyis 660Hz, ami az n3 oktávja.  

Az ábrán jól látszanak, hogy az egyes esetek melyik frekvenciákat emelik ki és melyikeket gátolják. 

Feltűnhet, hogy az egyes harmonikusok közötti hangközök oktáv, kvint, nagyterc stb. Ez a hármashangzat meg a dúr akkordot adja. Na, emiatt akkord minden hang! És talán ettől olyan kivételesek ezek a hangközök a nyugati zenében. 

Érdekesség, hogy ezek a természetes hangok az első felharmonikust (tökéletes oktáv) leszámítva nem esnek pontosan egybe a gitár bundozásával (lásd az ábrán a kinagyított részt) a tökéletes kvint még csak-csak, de a többi már egyre kevésbé. Ennek okáról volt szó a kiegyenlített hangolásnál


Hasznos online eszközök:

Intervál számolgató, ami két frekvencia között megadja a hangközt. 
Helharmonikus kalkulátor. 


2021. júl. 14.

Rabsuna vára és a szejkés fingóborvíz

Átok sújtja az erdélyi autópályákat, és ez nem most kezdődött, hanem még a középkorban, amikor először fogadták meg az ördögöt alvállalkozónak, hogy Parajdról Tordára utat építsen. A csoda-út megrendelője Rapsoné, Rabsóné, vagy Rabsonné, más forrásokban Rabsuna nevű fővállalkozó volt, aki átverte üzletfelét, Duromót. Orbán Balázs szemérmesebben, Gub Jenő csöppet bevállalósabban írja le az esetet. Mi ez utóbbi történetet tartjuk hitelesnek, mivel az elsőnek sem szimbolikailag, sem másképpen nincs értelme, meg aztán, amúgy is hírbe hozták Rabsunát az ördöggel. 

Nem mellesleg Áprily is ezt a változatot erősíti, meg Benedek Elek is. Jékelyről a várszikla tövében egy kis forrás is van elnevezve. A forrás éppen csak csordogál, inni nem innen fogsz.  A mellette álló fedett padokat irtó ideges szúnyogok őrzik. 

Ezért érdemes még Korond környékén a Fingóborvíznél tankolni. Nem azért mert finom, mert nem az, sőt az árcsói és a korondi borvizek is sokkal jobbak nála, hanem mert itt állt össze a világ egy jelentéktelen darabkája, hogy a szejke szó nemcsak egy helységnevünk, hanem jelentése is van. A fingást azonban nem taglalja, így nem tudjuk, a víz, vagy aki issza, a fingó. Viszont a derék korondiak még azt is elmagyarázzák, mi fán terem a GPS. De Ambrus Lajosról egy árva szót sem írnak, mert azt itt biztos mindenki ismeri, nem úgy mint a GPS-t. 

Vissza Rapsónné várához. A vár területét fák nőtték be, így csak a Google Earth segítségével találgathatunk, hogy valóban látszik e Rabsuna várától Firtos vára. Tartód váránál tartok attól, hogy egyáltalán nincs rálátás a másik két várra, pedig ezeknek, vagy őrtüzeiknek látszódnia kellene a feltételezések szerint. 

Bringával Parajdról és Szovátáról is járható. A GPS és az Osmand legyen veled, mert nem mindenhol egyértelmű az út. Ha már a környéken vagy, akkor Sófalván a Kincses-Kodáros barlangját se hagyd ki, Korondon a Csiga-domb aragonittelepét, Parajdon a só-szorost, Szovátán pedig a kilátót és onnan leereszkedve, a Medve-tó mögötti tavakat is próbáld fel. A Likas-kőről nem is beszélve. 

Forrás

2021. júl. 7.

Meg tudunk menteni egy JPEG-et?

Spoiler: nem teljesen. 

Van amikor semmi nem hajlandó kinyitni egy JPEG állományt. Sérülhet, vagy hiányozhat a fejléce, de akár maga az adat is. Kaptunk pár ilyen képet, hogy lám tudunk e kezdeni valamit velük. Feltehetőleg a  már a kártyára mentés során megtörtént a baj, aminek vagy a kártya, vagy a gép lehetett az oka. A konkrét fotókról nem lesznek screenek, mert valami családi, személyes fotókról van szó. Úgyhogy csak betűvel mutatom őket. 

A baloldali egy normális JPEG ugyanabból az alomból (ugyanaz a gép, beállítás, alkalom stb), a jobboldali meg a sérült, amire leginkább olyan jellegű hibaüzeneteket kapunk a képnézőktől, hogy a fejléc nem olvasható (ettől még hátrább is lehetnek gondok, mint az később ki is fog derülni). Egy JPEG fejléc kezdete FF D8, hát itt már az sincs meg. És persze a záró marker FF D9 sincs a file végén  De egyelőre a fejlécre koncentrálunk. 

Míg a hexeditor értelmezhető adatokat is láthat egy rendes JPEG-ben (például a gép típusát), a sérült file csak egy nagy kevert adathalmaz. Vannak olyan esetek, amikor a fejléc olvasható ugyan (a markerek legalább megvannak), de sérült, ilyenkor a kép megjelenítése megtörténik, de hibásan (glitches).

Mindenesetre érdemes az összes bevált képtweakelő alkalmazásunkkal tenni egy próbát. Nekünk ilyenek az Irfan, JPEGsnoop, ez utóbbi megengedte, hogy legalább a fejlécben levő thumbnailokat kimentsük, ehhez a nyitási hibaüzenetben felajánlja a Tools>Image search Forward lehetőséget, majd Export JPEG.  Ebben full HD felbontású thumbnail is volt, ez ki is elégítette a kárvallottat. De minket még nem.

A header cseréjéhez szükség van egy nagyon hasonló, de működő képre, ami lehetőleg ugyanazzal a géppel, ugyanolyan állásban, felbontásban stb. készült. Ilyen általában a netről is letölthető. Erre a típusra mi is találtunk. Sajnos a modern gépek custom adaptive kódolásai miatt szkeptikus vagyok ezzel a módszerrel, vagyis hogy ugyanaz a gép, két képen eltérő kvantálási mátrixokat fog használni - de ezt most nem fogjuk letesztelni, hogy valóban gondot okoz e. 

Forrás

A JPEG fejléce tehát a 0xFFD8 markerrel kezdődik és elvileg az adatok kezdetéig, vagyis a 0xFFDA markerig tart, aminek a vége a 0xFFD9 (EndOfImage). (Ezeket már használtuk a vízjeleknél.) A fileon belül thumbnailek lehetnek, ezért előfordulhat több FFDA FFD9 páros. A mi esetünkben két thumbnail is van (egy 160x120pixeles és egy 1920*1080 pixeles), ezért 3 darab FFDA markert találtunk, az első kettő közötti a legkisebb régió (itt sejtjük a kis thumbnailt), a második-harmadik között a leghosszabb, itt sejtjük a teljes felbontású képet, és az utolsó után sejtjük a közepes felbontású thumbnail. 

Ez a videóban végig vezet a fejátültetésen, de ő azt állítja, hogy a a legutolsó FFDA után van a képi információ maga, tehát ettől előfele mindent át kell átültetnünk a működő képről a döglöttre. Ez a mi esetünkben nem működött. 


Felül a hibás kép, alul a hibátlan keresési eredményében az látszik, hogy a hibás fileban kb. 2 Megabytnál van az első FF DA, a másikban meg 38 kbytenál. Bár a két file méretében van némi különbség (2,687Mb vs 3,031Mb) ez azért nem indokol ekkora eltérést. 

Kipróbáltuk mégis az összes variációt, pl. a középső FF DA előtti tartományt ültettük át, meg úgy is, hogy az első FF DA előtti tartományt. De még azt is, hogy a jó képből a középső FF DA előtti részt ráültettük a rossz kép első FF DA előtti szakaszára. Legjobb esetekben is Glitches, kevert képeket kaptunk, ami leginkább a donor kép tartalmára emlékeztetett, de néha nyomokban a hibás kép tartalmát is hordozták. 

Ekkor már az volt a gyanúnk, hogy a teljes kép úgy van összekutyulva, hogy csak na. Hogy a módszerben legalább biztosak lehessünk, kipróbáltuk két saját telefonos képpel. Egyiknek a fejlécébe beletöröltünk, hogy ne tudják megnyitni a képnézők. A donorról a file elejétől az utolsó FFDA-ig mindent átpakoltunk a sérült kép hasonló helyére. Prímán használhatóvá lett a file, és persze érdekesség, hogy a metaadatait is mind átvette a donornak, ami logikus.

Ezek után visszatértünk az eredeti problémához, és a hibás képben rákerestünk a filevég-jelre, amit valahol középtájt talált meg, és utána rögtön a file kezdete marker következett. Arra gondoltunk, hogy akkor innen hátrafelé mindent előre másolunk, hátha csak az eleje valahogy a végére került. A kép életre kelt ugyan, de csak a 1920*1080-as fileméretben nyílt meg, mintha a thumbnailt összetévesztette volna az igazi képi tartalommal. Itt még ki lehetett volna próbálni a thumbnailek és a kép sorrendjének minden változatát, de jobb ötletünk támadt. Nem a jó képből teszünk fejlécet a rossz képre, hanem a rossz kép adatfolyamát tesszuk a jó kép adatfolyamának a helyére.

Kikerestük a hibás képből a legbővebb FF DA - FF D9) részt, ezt tekintettük a képi info tényleges streamjének és ezt másoltuk bele a jó kép hasonló területére. Az eredmény egy teljes felbontású de durván glitches kép lett. Amit Jpeg Repair Shopban kicsit megpróbáltunk kipofozni (erről itt is találsz videót), de nem volt elég az MCU-kat tologatni, mert hiányzott a kép kb. 10 százaléka és a színjavítás sem volt tökéletes. Mondjuk azért a kép középső régiója igencsak jóra sikeredett. 

Még tettünk egy kört a a Jpeg Repair 2.8 programmal is, de hibás verzió lehetett, mert semmire se bírtuk rávenni. Bevált programok próbaverzióit meg azért nem töltjük le, mert azok csak preview mentését ígérik, azt meg már nekünk is sikerült, a thumbnail mentésével. Hát nincs heppiend. De eltelt egy nap hiába, vagyis pont azt tettük, amiről szól az élet.

2021. júl. 1.

Zeneelmélkedés nem zenésztől, fotósoknak.

Olyan kérdéseket feszegetünk, amiért csak kikacagnak a hozzáértők, hogy minek az nekünk, Sid Vicious se tudta, mennyi a 12. gyök alatt 2, meg matekből amúgy sem nő(l) rakendroll. Pedig de

Doe, the dear female deer, and her fawns :)

A nyugati zene, ahhoz képest, hogy évezredek szétszórt népeinek muzsika-dialektusából lett, mára elég egységes nemzetközi nyelvvé alakult. Szemben mondjuk a beszélt nyelvek sokféleségével. A 12 hangos kromatikus skála és a temperált hangolást úgy képzeljük, mint ami a nyelveknek az Eszperanto lehetett volna.  (Na jó, például a B-H tájszólásbeli különbség azért még fel tud idegesíteni.) De most inkább a zene hullámait hasonlítjuk a fény hullámaihoz, lám vezet e valahová a gondolatmenet. 

A (hang) frekvenciáját és hullámhosszát már valamennyire érteni véljük. Jelentős különbség a fény hullámtermészetével, hogy a hangnak közegre van szüksége, mert nem elektromágneses. Ezért abszurd a Space Oddityt bömböltetni a Teslában a Mars felé.  Vegyük azt, amit mindenki ismer, például a barna hangot. Ha nem érdekel a muzsika matekje, itt akár gellert is kaphatsz a pop-fizika felé:


Szóval a barna hang fölött kezdődik a hallható tartomány, mondjuk 20-20kHz között. Nekünk olyan 15-14kHz között van meg, de ez a fülhallgató karakterisztikáján is múlik. Tehát alkalmasak lehetünk elefántokkal suttogni, de nem halljuk, ahogy az ultrahangos kutyariasztó (25kHz) nyomja a metált a blökinek. Ez hasonló, mint a színekkel is: a látható spektrumban festmények, fotók születnek, a látható spektrum felett meg ott az infraszauna, alatta meg a bőrrák. A hang is ilyen, lehet belőle csinálni zongorahangversenyt is, meg ultrahangos fogkőleszedést. De azért van különbség is a hallás és a látás között, ugyanis az öregedéssel a látás spektruma nem szűkül be, a hallásé viszont nagyon is, akár 10 kHz alá is bezuhanhat, ami olyan, mintha öregen már nem látnánk (csak szagolnánk) az ibolyát meg a  kékeket és csak mondjuk a zöldtől a piros felé látnánk. 

Forrás

De szorítkozzunk a hallható tartományra, ami egy folyamatos spektrum, amiből a nyugati zene kiemel néhány fontos hangot és azokból épít zeneművészetet. A többi hang csak ezeknek a hangoknak a nyújtása, tremolása közben szólal meg. Vagy akármikor, amikor a hangszer el van hangolódva. Szerintem egy ilyet nyiss meg, mert a későbbiekben kelleni fog, C0-tól B8-ig találod rajta a hangokat (440-es és ettől eltérő hangolásokkal).

Azt olvassuk, hogy a zongora 88 hangja A0-C8 között fedi le a tartományt. A 6 húros gitár standard hangolással E2-től E5 (vékony húr 12. bund) fölött valameddig (a bundok számától függően). A 7-8 húros DJENT cuccok valamivel mélyebbre mennek. A standard basszushangolás E1-től indul. (Mr. 4 Oktáv hangterjedelmét is ismerjük, bár őt átcseszte az énektanár.) A MIDI elvileg 128 hangot tud, C-1 és G9 között, ami kb. (hangolástól függően) 8,1Hz-12,5kHz között van (ez meglepett, mert felfele kicsit szűknek érezzük). Persze lehet menni ezek fölé is, hegedűn, sípon, nádihegedűn, slide gitáron, csak győzzed spanolni a húrt és a híd mellett lefogni/pengetni az utolsó millimétereket. Tehát a hangszerek lefedik a hallható tartományunkat, és vannak hangszerek, amelyek folyamatosan, diszkrét (pl. félhangos) ugrások nélkül tudnak hangot kiadni (pl. bund nélküli hangszerek). Mi mégis a spektrumból kidobjuk a hangok zömét, amikor a zene nyelvét leírjuk. Mennyit is dobunk ki?

Mivel  inkább értünk a színekhez és tónusokhoz, mint a hangokhoz, ezért próbálkozzunk szinergiával. Amennyiben a kromatikus skálának egyetlen oktávját szeretnénk megjeleníteni egy 0-255 tónusú (logaritmikus) skálán, az akkor így nézne ki. 


Alul a folyamatos spektrum átmenete, középen a cent értékekkel linearizálttá tett skála 12 félhangja, legfölül pedig a logaritmikus skála, a frekvencia értékekre. Az értékeket táblázatkezelővel számoltattuk ki:


Ez erősen emlékeztet a Posterization jelenégre, amikor a létező tónusokból rengeteget kidobálunk, és csak néhányat használunk.  Liszt úr 255 hangból és 8 hangból megjelenítve:


Van egy másik hasonlóság is tehát a hangok és a fények világa között. A CCD/CMOS is egy logaritmikus skála szerint rögzíti a RAW állományt és csak utána mappeli be egy lineáris színtérbe, mondjuk RGB-be. A fényképezőgép is poszterizál, hiszen láttuk, a Nikon még a 12 bites 4096 lehetőség közül is rengeteget kidobál, hogy aztán végül csak a 8 biten (256 tónuson) ábrázoljuk a világot. Ez három színre vetítve viszont jóval részletesebb színtér, mint amit a szem befogni képes (állítólag csapsejtenként 100 tónust különböztetünk meg, vagyis alig millió színt (100^3) észlelünk különbözőnek az RGB lehetséges 16 milliójából. Vagyis az ábrázolás sokkal dúsabb, mint amit egyáltalán képesek vagyunk észlelni. 
A hangoknál viszont, a hallható tartomány mondjuk 10 oktávja 120 (fél)hanggal dolgozik, ugyanakkor a megkülönböztethető hangok nagyságrendje ezres (5-10 cent megkülönböztetése esetén). Tehát jóval kevesebb hangot jegyzünk, mint amennyit képesek lennénk megkülönböztetni.

Jaj, és abba ne is menjünk bele, hogy a hang frekvenciáját nem a fény frekvenciájához hasonlítottuk. Vagyis, ami a fénynek a színe, az a hangnak a magassága, és ami a fénynek a világossága, az a hangnak az amplitúdója. És akkor még azt is szóvá tehetné valaki, hogy Liszt úr poszterizációja inkább hasonlít a hang mintavételezésére. De mindezekről később. 

2021. jún. 15.

Tiszta vs kiegyenlített hangolás

Az világos, hogy a zene, nem az egyes hangok hangmagasságán alapszik, hanem a hangközökön. Mondjuk, kivéve a White Stripe One note című koncertjét, mert abban a hangköz két performansz közé esik. Annál nem úgy számolunk hangközt, hogy kis- és nagyterc, vagy kis- és nagyszekund, hanem inkább úgy, hogy kiskarácsony, nagykarácsony. 

A nyugati zenében a hangközök leírhatók aránypárként, a két hang frekvenciájából. Mondjuk egy kvint hangköz: 3/2 vagyis az alaphang két rezgésideje alatt a kvintje hármat rezdül. Ez eddig ilyen egyszerű. 

A4, 440Hz*3/2 = E5, 660Hz (tiszta hangolás esetén). A-nak E a kvintje. De fordítva is igaz A4 440Hz *2/3  = 293.333Hz, ami a D4 hang. Tehát a D4 és A4 között is kvint távolság van, de ezt úgy tanítják a kezdő gitárosnak, hogy D-nek A a kvintje. 

Mivel diatonikus, kromatikus skálán gondolkodunk, az oktávval (dupla frekvencia) újra kezdődik a hangsor, ezért az arányok így is igazak maradnak: 3/4 = 6/2 = 6/4 ugyanis ezek is mind ugyanazt a hangot jelentik, csak nem ugyanazon az oktávon belül, hanem fennebb, vagy lennebb. A4 re E3, E4, E5 vagy E6. Ha ez eddig , akkor ugorhatsz, ha nem, akkor legyen egy másik példa erre:
Vegyünk most egy másik, cselesebb aránypárt, 5/3. Mondjuk C4 és A4 között. Szext, kilenc félhang. (Kiegyenlített hangolásnál ez 900 cent lenne.)  De van egy képletünk, ami két hang arányát megmondja centben: X cent=log(a/b)*1200/log(2), vagyis X cent  = log(a/b)* 3986,3137.
a/b helyére behelyettesítve:
5/3 = 884,35 cent (kiegyenlített hangolásnál 900 cent)
10/3  =  2084,35 cent (vagyis 900 cent + egy oktáv, ami 1200 cent)
20/3  =  3284,35 cent (vagyis 900 cent + két oktáv, ami 2400 cent) 
De másik irányba is igaz:     
5/6  =  -315,641 cent (vagyis 900 cent - egy oktáv, ami 1200 cent)
5/12  =  -1401,577 cent (vagyis 900 cent - két oktáv, ami 2400 cent) 
Tehát ezzel a C4-hez képest az  A2-A3-A4-A5 hangokat tudtuk megcélozni.

Az előbbi példákban az látszik, hogy a tiszta hangolású aránypárok nem pontosan 100 centre jönnek ki, pl. 884,35 cent a 900 helyett és így tovább. Tehát a tiszta hangolás ezeket a mágikus arányokat használja és fittyet hány a 100 centtel oszthatóságra.

A wiki nem segített megérteni, miért pont ezek a hangközök szerepelnek a ma használt skálában, de fogadjuk el, hogy vannak ezek a történelmileg letisztult, emberi fülnek kedves arányok, amik skálává konszolidálódtak az idők során. Történelmi, fizikai és matematikai okai is vannak, a youtubon sokan magyarázzák, de nem túl meggyőzően.  Az alábbi ábra kicsit talán segíthet a hangközök matematikáját megérteni:

Forrás

FONTOS, hogy a hangok közötti távolságot úgy adjuk össze, hogy összeszorozzuk az arányokat. Vagyis C-E közötti 5/4f az úgy jön ki, hogy pl. összeszorozzuk a C-D közötti 9/8-at és a D-E közötti 10/9-et. 9/8 * 10/9 = 1,25 ami = 5/4.
Másképpen: a C-A közötti 5/3 arányból ha kivesszük a G-A közötti arányt (10/9), akkor a C-G közötti arányt kapjuk, tehát a törtek osztásával vonjuk ki az arányt: (5/3) / (10/9) = 3/2


Felül a linkről kifogott kép, alatta pedig a mi értelmezésünk arról, hogyan kell ezekből az arányokból frekvenciákat számolni.  C4-C5 oktávját ábrázoljuk a frekvencia szerint (a vízszintes tengelyen a mm=Hz)  Úgy is felfogható ez, mint egy C4-re hangolt üres húr hossza a nyaknál és a 12. bundnál fogva.

Ha pontosan ezeket az arányokat használnánk a hangolásra, akkor tiszta hangolásról beszélhetnénk. A szakirodalom viszont felhívja a figyelmet, hogy ez gondot okozna a zene transzponálása során. Ezt próbáljuk megérteni. 
Vagyis ha mondjuk C-ben van a metál és abban reszeljük a kvinteket (C-G), de valamiért ezt át akarjuk tenni D-be, akkor a D-A kvint nem ugyanúgy fog szólni? 
Az ábra segítségével számoljuk ki C-G között az arány 3/2, vagyis 1,5. De ha összeszorozzuk az egyes lépéseket, akkor szintén: 9/8 * 10/9 * 16/15 * 9/8 = 1,5 
261,63*1,5 = 392,445Hz  Ez 701,95 cent, ami majdnem 700, mint a kiegyenlített hangolásnál. 
De most számoljuk ki ezt D-től kezdve A-ig. Ha a 3/2 aránnyal számolunk, akkor 441,49Hz jönne ki. De ha leszámoljuk a hangközöket 10/9 * 16/15 * 9/8 * 10/9 = 1,48 Így az A hangunk 435,612Hz lenne csak. A hangköz pedig 678,71cent.  Ez bő 23 cent különbség C-G és D-A között tiszta hangolás esetén. 

Ezt a problémát küszöböli ki a kiegyenlített hangolás, ami csak egyetlen tiszta hangközt tartalmaz, az oktávot, az összes többi hangköz valamennyire eltér a tiszta hangolástól. Ennek frekvenciáit itt találod.  Matekjét meg ebben a bejegyzésben fejtegetjük

Ez pedig egy összesítő táblázat az arányokról és frekvenciákról A4 és A5 között kiszámolva: