Szinuszod átjárható? Bézik mateket bírod?

Sajnos nekünk sürgős ismétlés kellett a szinuszhullámokból, hogy a későbbiekben a lézeres fényinterferenciákat jobban megérthessük. Tekintsük ezt alaptanulásnak, illene is tudni, ha már a szüleink adójából ingyenes oktatásban részesültünk, aztán valamire csak jó lesz. Úgyis jön majd a második hullám, ezekkel a gyermekeket is tökéletesen meg lehet nyomorítani. 

Egységsugarú kör. Van harminc éve, hogy utoljára kellett, akkor is csak arra, hogy puskát rajzolj a matekdolgozathoz, mi? Bezzeg akkor még nem voltak ilyen fenszi szimulátorok, mint például ez a Geogebrás cucc, csak a nagy favonalzó, amivel Soson osztogatta a tudást, meg a sallereket, mert ez még akkor volt, amikor egyenesen illett verni a gyermeket az iskolában. Tologassad, játssz vele, csomó minden eszedbe fog jutni a suliból, és remélhetőleg nem csak az, hogy Kolozsi megette a tízóraidat, és hogy Edónak mennyire szőrös volt már a hónalja 12-13 évesen, Tünde dudáiról nem is beszélve, mert ez már finoman megcirógatná a pedofília határát, amiről újabban mindenkinek vaskos és erektált véleménye van... No, ha visszatértél a jelenbe, folytatnánk.

Az egységsugarú kör pont az, ami a neve is, sugara: 1. Ez azért jó, mert akkor ennek a körnek a kerületét nem bonyolítja a sugár.  2*π*R ebben az esetben csak  2*π. 180 fok alatt látszik a fél kör, egy π (vagyis 180 fok) azt jelenti, hogy ebbe a félkörívbe 3,14-szer fér bele a körnek a sugara. A teljes körbe 6,27-szor. Na, máris értelmet nyer, mitől 2π a szinuszhullám egy teljes hullámhossza.

Haladjunk az interferencia felé. Az internet tele van azzal, hogy két ugyanolyan hullámhosszú és amplitúdójú hullám amennyiben fázisban vannak erősítik egymást (összeadódnak), amennyiben nincsenek fázisban, és fél hullámhosszal eltérnek, gyengítik egymást (kioltják - gyakorlatilag ugyanúgy összeadódnak és az összeg 0 lesz). De mi történik negyed, illetve nyolcad fáziseltolások esetén. Mi történik, ha az amplitúdóik nem egyformák? Azt hiszed nincs olyan élethelyzet, ahol ez kellhet? Tévedés. Vékonyrétegek irizálása. Cirkuláris polárszűrők negyedfázis-eltolásai. Na ugye?

Wiki

Először Audacityvel próbáltuk megfogni a dolgot, mert ott lehet szinuszhullámot generálni (Tracks/Add New.. majd Generate/Tone/Sine) és eltologatni is az idővonalon, és így elindítani a kettejük interferenciájának a lejátszását. Nagyon jól hallatszik, hogy erősödik, vagy gyengül a hang, annak megfelelően, hogy mennyire toltuk el egymástól a két hullámot, a kioltás is pöpec, ha sikerül pontosan fél fázisra eltolni a hullámokat egymástól. Az amplitúdóbeli finomságok persze füllel nem érzékelhetőek, de kiexportálva mp3-nak a két egymásra ügyeskedett hullámot, az új behozott hullámgörbe már az összeget mutatja.

Most éppen az alaphullám és negyed hullámnyi shift van bekapcsolva, a másik kettő mútolva van.

A fenti példa annyiban helytelen, hogy az amplitúdókat 0,5-nek kellett volna venni, hogy az összegzés értéke is felférjen, abból viszont nem csináltunk screencapturet. Persze nem muszáj két azonos hullámhosszal játszani. Alább például egy G-kvint látható, G4 és D5 hangok közös hulláma (88 illetve 59 centis hullámhosszak) :

Ezzel csupán az a gond, hogy hallás alapján nehéz megállapítani mennyire is erősít, vagy olt ki két hullám, és nem is tudjuk vizuálisan, valós időben egymásra tenni a görbéket. Ezért más szimulációt kellett keresni. Ezt találtuk ugyancsak a geogebrán, érdemes játszani vele.

itt éppen negyed fázis (PI/2) eltolás látszik.

Mivel erről lehetetlenség volt leolvasni az eredő amplitúdó értékeket, kénytelenek voltunk egy saját szimulációt is készíteni és elvégezni a műveleteket 45, 90, 135 és 180 fok (negyed, fél, háromnegyed és egész π) eltolásokra, megállapítandó, hogy adott esetekben, azon a ponton, mekkora lesz a maximális amplitúdó. Amplitúdónak a példában egyet vettünk az egyszerűség kedvéért, de a képlet amivel bármelyik pontban kiszámítható az aktuális amplitúdó: sin(fok)*hullám maximális amplitúdója. Miért ennyi? Lásd a felső ábrát, és ezt a képletet:

Az átfogónk itt az egységsugarú körünk sugara, ami 1. Tehát a sinusz(fok) = a keresett amplitúdóértékkel. Rendre kiszámoltuk mindkét hullám amplitúdóját, majd összeadtuk:

Nyolcad fáziseltolás esetén a keletkező hullám maximális amplitúdója

Negyed fáziseltolás esetén a keletkező hullám maximális amplitúdója

Háromnyolcad fáziseltolás esetén a keletkező hullám maximális amplitúdója

Fél fáziseltolás esetén a keletkező hullám maximális amplitúdója nulla.

180 fok fölött már negatív szinusz értékeink lesznek. Ennek a tudásnak a birtokában érdemes tovább játszani a fent meghivatkozott Geogebra alkalmazással. Például egy 3 és egy 2 amplitúdójú azonos hullámhosszú szinuszhullám fél fázis eltolásban ezt eredményezi:

Jó szórakozást!