Tiszta vs kiegyenlített hangolás

Az világos, hogy a zene, nem az egyes hangok hangmagasságán alapszik, hanem a hangközökön. Mondjuk, kivéve a White Stripe One note című koncertjét, mert abban a hangköz két performansz közé esik. Annál nem úgy számolunk hangközt, hogy kis- és nagyterc, vagy kis- és nagyszekund, hanem inkább úgy, hogy kiskarácsony, nagykarácsony. 

A nyugati zenében a hangközök leírhatók aránypárként, a két hang frekvenciájából. Mondjuk egy kvint hangköz: 3/2 vagyis az alaphang két rezgésideje alatt a kvintje hármat rezdül. Ez eddig ilyen egyszerű. 

A4, 440Hz*3/2 = E5, 660Hz (tiszta hangolás esetén). A-nak E a kvintje. De fordítva is igaz A4 440Hz *2/3  = 293.333Hz, ami a D4 hang. Tehát a D4 és A4 között is kvint távolság van, de ezt úgy tanítják a kezdő gitárosnak, hogy D-nek A a kvintje. 

Mivel diatonikus, kromatikus skálán gondolkodunk, az oktávval (dupla frekvencia) újra kezdődik a hangsor, ezért az arányok így is igazak maradnak: 3/4 = 6/2 = 6/4 ugyanis ezek is mind ugyanazt a hangot jelentik, csak nem ugyanazon az oktávon belül, hanem fennebb, vagy lennebb. A4 re E3, E4, E5 vagy E6. Ha ez eddig , akkor ugorhatsz, ha nem, akkor legyen egy másik példa erre:

Vegyünk most egy másik, cselesebb aránypárt, 5/3. Mondjuk C4 és A4 között. Szext, kilenc félhang. (Kiegyenlített hangolásnál ez 900 cent lenne.)  De van egy képletünk, ami két hang arányát megmondja centben: X cent=log(a/b)*1200/log(2), vagyis X cent  = log(a/b)* 3986,3137.
a/b helyére behelyettesítve:

5/3 = 884,35 cent (kiegyenlített hangolásnál 900 cent)
10/3  =  2084,35 cent (vagyis 900 cent + egy oktáv, ami 1200 cent)

20/3  =  3284,35 cent (vagyis 900 cent + két oktáv, ami 2400 cent) 

De másik irányba is igaz:     

5/6  =  -315,641 cent (vagyis 900 cent - egy oktáv, ami 1200 cent)
5/12  =  -1401,577 cent (vagyis 900 cent - két oktáv, ami 2400 cent) 

Tehát ezzel a C4-hez képest az  A2-A3-A4-A5 hangokat tudtuk megcélozni.

Az előbbi példákban az látszik, hogy a tiszta hangolású aránypárok nem pontosan 100 centre jönnek ki, pl. 884,35 cent a 900 helyett és így tovább. Tehát a tiszta hangolás ezeket a mágikus arányokat használja és fittyet hány a 100 centtel oszthatóságra.

A wiki nem segített megérteni, miért pont ezek a hangközök szerepelnek a ma használt skálában, de fogadjuk el, hogy vannak ezek a történelmileg letisztult, emberi fülnek kedves arányok, amik skálává konszolidálódtak az idők során. Történelmi, fizikai és matematikai okai is vannak, a youtubon sokan magyarázzák, de nem túl meggyőzően.  Az alábbi ábra kicsit talán segíthet a hangközök matematikáját megérteni:

Forrás

FONTOS, hogy a hangok közötti távolságot úgy adjuk össze, hogy összeszorozzuk az arányokat. Vagyis C-E közötti 5/4f az úgy jön ki, hogy pl. összeszorozzuk a C-D közötti 9/8-at és a D-E közötti 10/9-et. 9/8 * 10/9 = 1,25 ami = 5/4.
Másképpen: a C-A közötti 5/3 arányból ha kivesszük a G-A közötti arányt (10/9), akkor a C-G közötti arányt kapjuk, tehát a törtek osztásával vonjuk ki az arányt: (5/3) / (10/9) = 3/2

Itt találtunk egy másik leírást is. 

Felül a linkről kifogott kép, alatta pedig a mi értelmezésünk arról, hogyan kell ezekből az arányokból frekvenciákat számolni.  C4-C5 oktávját ábrázoljuk a frekvencia szerint (a vízszintes tengelyen a mm=Hz)  Úgy is felfogható ez, mint egy C4-re hangolt üres húr hossza a nyaknál és a 12. bundnál fogva.

Ha pontosan ezeket az arányokat használnánk a hangolásra, akkor tiszta hangolásról beszélhetnénk. A szakirodalom viszont felhívja a figyelmet, hogy ez gondot okozna a zene transzponálása során. Ezt próbáljuk megérteni. 

Vagyis ha mondjuk C-ben van a metál és abban reszeljük a kvinteket (C-G), de valamiért ezt át akarjuk tenni D-be, akkor a D-A kvint nem ugyanúgy fog szólni? 

Az ábra segítségével számoljuk ki C-G között az arány 3/2, vagyis 1,5. De ha összeszorozzuk az egyes lépéseket, akkor szintén: 9/8 * 10/9 * 16/15 * 9/8 = 1,5 
261,63*1,5 = 392,445Hz  Ez 701,95 cent, ami majdnem 700, mint a kiegyenlített hangolásnál. 
De most számoljuk ki ezt D-től kezdve A-ig. Ha a 3/2 aránnyal számolunk, akkor 441,49Hz jönne ki. De ha leszámoljuk a hangközöket 10/9 * 16/15 * 9/8 * 10/9 = 1,48 Így az A hangunk 435,612Hz lenne csak. A hangköz pedig 678,71cent.  Ez bő 23 cent különbség C-G és D-A között tiszta hangolás esetén. 

Ezt a problémát küszöböli ki a kiegyenlített hangolás, ami csak egyetlen tiszta hangközt tartalmaz, az oktávot, az összes többi hangköz valamennyire eltér a tiszta hangolástól. Ennek frekvenciáit itt találod.  Matekjét meg ebben a bejegyzésben fejtegetjük. 

Ez pedig egy összesítő táblázat az arányokról és frekvenciákról A4 és A5 között kiszámolva:

50 cent.

Nem túl valószínű, hogy a bárgyú tekintetű, híres szavalóember, 50 cent úr, azért választotta a nevét, mert a negyedhangnak szeretett volna ezzel emléket állítani, szerintünk inkább a erre a dalra rímelhet a neve. A következőben rendhagyó módon, szájbarágósak leszünk, mert ismerkedve a témával ez nekünk gondot okozott, joggal feltételezzük, hogy másnak is gondot okozhat. Tehát úgy közelítjük a témát, like I'm 50. 

Osszuk fel frekvencia szerint az oktávot. 

Legyen egy (tiszta) oktávunk, amiben 12 félhang távolság van. Hogy miért ennyi, és miért pont ezek, azt most ne firtassuk.  Mondjuk ezt teljesen egyformán akarjuk felosztani, a tiszta hangolást érintő problémák miatt. De világos, hogy ez a skála logaritmikus. 110-220Hz egy oktáv, de 220-440Hz is egy oktáv, holott dupla olyan széles frekvenciatartomány, 440-880Hz már négyszer szélesebb, és így tovább.

Mondjuk legyen a felosztani kívánt oktávunk az A4-A5 (440Hz és 880Hz) így van egy 440Hz-es logaritmikus tartomány, ezt kell egyforma tizenkét (fél)hangra bontani. De ezt nem úgy, hogy 440/12 és kész is vagyunk, mert láttuk, hogy mindegyik fél hang egyre nagyobb tartományon fekszik, mint az előző. 
Vagyis ez egy mértani sorozat (egy szorzóval növekszik), nem pedig egy számtani sorozat. Az alaphangot, 440-et 1-el szorozva, magát az alaphangot kapjuk. az oktáv esetében az alaphangot 2-vel kell szorozni. Az összes köztes félhang szorzója tehát valahol 1-2 között van. 

Oké, tehát keresünk egy olyan számot, ami a 0. hatványon 1 (minden szám ilyen) és ami a 12. hatványon pont 2 lesz, és ezzel a számmal szorozgatjuk végig az azelőtti frekvenciaértéket 12-szer, így lesz meg minden félhangunk frekvenciaértéke. 

Ezt a számot meg így kapjuk meg: 12√2 ≈ 1.0594631

Vagyis induljunk A4-től:
440*1,05946 ez lesz az Aisz hangunk 466,16Hz. 
466,16*1,05946 lesz a B hang: 493,88Hz
...
és így tovább, míg végül:
Gisz: 830,61*1.05946 ami 880Hz vagyis az A4 hangunk oktávja, az A5. 

Vagy másképp megközelítve, a kisszekund (fél hangra a prímtől) 1,05946 szorosa a prímnek. A nagyszekund (két félhangra a prímtől) 1,05946^2 szorosa a prímnek, a kisterc 1,05946^3 szorosa és így fel az oktávig, ami 1,05946^12 szorosa a prímnek, vagyis duplája. 

Tegyük fel az A4 (440Hz) kvintje érdekel. A kvint 7 félhangra van az alaphangtól, tehát
1,0594631^7 hatványon * 440Hz = 659.255Hz ami az E5

A wikipedia más megközelítést használ. A képlete: 

ahol f(i) a keresett hang frekvenciája, i a két hang közötti félhangtávolságok száma, t0 pedig az alaphang frekvenciája. Lehet a skálán felfele is menni, de lefele is. Most a 440Hz-től induljunk lefele, tehát -7 félhangra (egy kvintnyi távolságra).

f(-7) = 440* 2^-7/12 = 440* (1/2)^7/12  = 440*0.667419  = 293.664Hz  Ez pontosan a D4-es hang frekvenciája (kiegyenlített hangolásnál)

Osszuk fel centekre az oktávot. 

Az előbbi számítással a mindennapokban nem lehet együtt élni. Mert az összes hangköz frekvenciaértékeit megjegyezni se lehet, de kiszámolgatni sem életszerű bemindenezve egy koncert közepén.  Erre való a cent.  A teljes 12 félhangos skála 1200 cent. 100 cent minden egyes félhang. A0 és A#0 között is és A8-A#8 között is, holott az első esetben alig 2Hz (27,50-29,14Hz) a tartomány, a másodikban pedig több, mint 400Hz (7040-7458,5Hz). Erre léteznek kalkulátorok is, beírod a két frekvenciát és megmondja neked centben a hangközt. 

De kiszámolhatod magadnak. Log kalkulátort is ér használni.

Ahol a/b a keresett hangköz aránya, pl. mint a kvint (3/2), vagy oktáv (2/1). Tehát a 3/2 úgy aránylik a log(2)-höz, mint annak centértéke az 1200 centhez, innen pedig X cent=log(a/b)*1200/log(2), vagyis X cent  = log(a/b)* 3986,3137.

Legyen az arány most a tiszta kvart, 4/3  =  1,3333333.  log(1,33333) =  0,12493862863, innen 0,12493862863*3986,3137  =  498,04456. Tehát a tiszta kvart hangköz 2 cent híján 500 cent. 2 cent csalás van a tiszta és a temperált (kiegyenlített) hangolás között.

A kvint 3/2 = 1,5 Log(1,5) = 0,17609125905, ez szorozva 3986,3137-tel  =  701,95499, 2 centtel több, mint temperált 7 félhang. 

Nagyterc (5/4). 386.313712521, itt már azért majdnem 14 cent különbségünk van. 
Mi van az oktávval? Aránya 2/1. Érdekesség, hogy bármilyen kalkulációs pontosságot is használunk, az eredmény nem bír 1200 cent lenni (ez a legjobb amit kaptunk: 1,199.9999999826742818476). De persze ez a számítógép pontoss'gi hiányossága lehet (?), hiszen a képlet szerint  log(a/b=2)*1200 / log(2), ami log(2)-vel egyszerűsítve tuttifix 1200 kell legyen. 

A wiki más megközelítéseket ajánl, de mostanra mi kielégültünk és elveszítettük az érdeklődést a további hasztalan matematikai maszturbációban. 

Azt olvasom, hogy 5 cent fölött kezdik észlelni az emberek a különbséget két hang között, ezt le is teszteltük, 5-10 cent között észleltük mi is az egyszerű szinuszhullám különbségeit. Tehát nekünk a kiegyenlített hangolás pár centes szórása a tiszta hangolástól olyan igazán nagy problémát nem okoz, de elvileg észrevehető számunkra is.

Kő kövön nem marad. Rektológ.

A villámokban nincs kimélet

A hullámokkal fákat törnek

Tépi a szél, és mossa esõ

És mégis ott marad helyén a kõ!

(P.Box)

Likasszák már az égben fönt a rostát

s a csillagok tengelyét olajozzák

szorgalmas angyalok.

És lészen csillagfordulás megint

és miként hirdeti a Biblia:

megméretik az embernek fia

s ki mint vetett, azonképpen arat.

Mert elfut a víz és csak a kő marad,

de a kő marad.  (Wass Albert)

Azért az csodálatos, hogy az emberek egy részének az nyújt vigaszt, hogy vannak dolgok, amelyek sohasem változnak meg. Mások számára pont ez a nyomasztó és az hoz megváltást, hogy egyszer úgyis minden elmúlik. 

Hát így. Egyszer szörnyen, egyszer jól, és ez így, így van jól. És igaza van a sikátorba beszorult duci Vikidálnak, nem szabad várni, mert végül semmi sem marad. 

Úgy légy erõs, mint kövön a kõ, mint kövön a kõ, ha zord az idõ! (P.Box.)

Forrás

Vándorsólyom

A Vargyas-szoros régen egy zord, szabad élettér volt. Ma egy kényelmes, beszabályozott, könnyen fogyasztható turisztikai erőforrás. És hányszor, de hányszor fordult velünk is elő, hogy egy távoli vidéket, az ott élők életterét, mi is csak egyszerűen elfogyasztottuk. Mint egy kólát, amire éppen gusztusunk támadt. Jól esett, és böfögtünk mi is utána elégedetten. És borzadva szemléltük ezelőtt 5-10 évvel, mekkora falánksággal vetik magukat az emberek a Tátrára, a Júliai Alpokra és nem is gondoltuk, hogy pár év múlva a mi helyeinket is felzabálja a turizmus dühödt étvágya. 

De ahol valami eltűnik, ott megjelenik valami új, ha nincs ez a turizmus-izé, akkor nincs a Vándorsólyom vasalt út se. Amiről ebből a videóból értesültünk. Rengeteg gondolatom támadt az influenszerek, bloggerek és vloggerek, láttán, meg az is meglepett, hogy a jelenlevő derék médiamunkások dacára, a új via ferráta vágóképei mégis a Kecskevészről vannak. De nem, nem firtatom, hogy milyen társaság lehet az, akit ők influenszálhatnak outdoorra, mert még felmerülhet, hogy bezzeg nekem régen minden jobb volt. 

A ferráta besorolását sehol másutt nem találtuk, csak a fal alatti táblán. C/D. Szerintünk korrekt a kiírás. Szűk háromnegyed órával számoljatok, ha nincs más a falban. 

Nekrológ:

Itt voltál, posztoltál, instán az örömed,

30 éve ez a patak vitte el a sörömet,

neked ez a kőlik a szelfihez egy kellék,

én alatta fogtam meg egy részeg nő mellét.

Te megállsz a bejárat mellett, szorosan

mi minden lukban jártunk, denevérszarosan.

Neked hidak kötik össze a parkolóval a sziklát,

mi tökig a vízben cibáltuk hosszan a bringát. 
Mi kellene még, bár, wifi és fotel?
szállásunk volt a Spaeleus Hotel.

Itt minden neogén, már semmi sem a permi,

Végre, most már minden fuckin-family-friendly.

Neked ez egy ünnep, decathlonos farsang,

Nekem már csak emlék az Almási-barlang.

Napozz Hold nélkül - 02 szimuláció. Parallaxis mérés fotóról

Ha feltételezzük, hogy a Hold annyira közel van hozzánk, hogy a környező csillagok hozzá képest a végtelenben vannak, akkor ugyanabban a pillanatban, a Föld két nagyon távoli pontjáról lefotózva az eget, a környező csillagok eltérő távolságban lesznek a Holdtól a képen. Ha a csillagokat egymásra igazítjuk a két fotón, akkor meg a Hold nem lesz ugyanott a két képen. 

A Föld két nagyon távoli pontjáról egyszerre csak úgy készíthetnénk képet a valóságban, ha lennének barátaink Kínában, akikkel ezt megcsinálhatjuk egy összehangolt pillanatban. De nekünk Kínában csak üzletfeleink vannak és azok is egyre kevesebben. Mi a Monncalc.org oldalt használjuk, hogy megkeressük a legközelebbi teliholdat. Jún. 24. éjjelét. 

Na jó, a mooncalcon bármelyik napon bármelyik órájára megkapjuk a Hold minden adatát, ezzel a témát le is zárhatnánk, de mi most szimuláljuk a valós kísérletet, így ezeket az adatokat csak ellenőrzésre fogjuk használni. (a Hold 365241km távolságban lesz a Földtől, és aznap 0,547 fokos lesz a mérete).

Az időpont tehát adott, ezután a Stellariumban két screencapturet készítünk a választott dátumon, egyidőben, de egyiket Párizsból, a másikat meg a kínai Jiujangból (azt már láttuk, hogy a Stellarium eléggé figyel az apró részletekre). Azért pont ezek lesznek a fotós helyszínek, mert ezek könnyen kiválaszthatók a Stellariumban, plusz egyikből hajnalban, a másikból alkonyat után még éppen látszik a Hold, így majdnem a lehető legnagyobb bázistávolságot kapjuk (9087km). 

A két képen a Nyilas-csillagkép nyílhegyének Alnas csillagát, a Kaus Borealist, illetve a Kaus Media csillagokat egymásra igazítjuk. Szemre nagyjából 3 Holdátmérőnyi a parallaxisunk szöge. Tehát nagyjából 1,5 fok felével, 0,75 fokkal kell számolnunk. Keressük meg a szög melletti befogó hosszát, ami a Föld-Hold távolság, ehhez kell a két fotó bázistávolságának a fele. 

tan(fél-szög) = fél-bázis / Hold távolsága. 

tan(0,75) = 4543,5 / Hold távolsága, ahonnan a Hold távolsága = 4543,5 / 0,013090717 = 347078km
Ami elég szánalmas eredmény.

3. Lehetne valahogy javítani a számításon?

Egyik hiba, hogy a bázis befogója nem 4543,5km, ami a két város gömbfelületen mért távolságának a fele, hanem kevesebb.  Reméltük, hogy nem kell ezzel bíbelődni.

A 9087km és a Föld kerületének arányából kiderül, hogy a két mérési pont között (Franciaország és Kína) 81.6 fok van. 

sin(40.8fok) = a keresett befogó / átfogó, vagyis a Föld sugara

ami kb 0,64 = befogó / 6378km, ahonnan a pontosabb befogónk 4145km körül van. Sajnos ezzel a pontosítással még távolabb kerülünk a helyes eredménytől, az előbbi tangenses képletünkkel  4145 / 0,013090717 = 316690km Az előbbi eredményünk tehát nem a pontatlan bázistávolság miatt lett pontatlan, hanem annak ellenére. 

Másik lehetőség, nem szemre, hanem pontosabban megállapítani a parallaxis szögét. A képen a Holdátmérő 67pixel, az eltolás pedig 162 pixel, vagyis ha 67pixel 0,547 fok, akkor 162 pixel 1,322 fok lehet. Tehát ennek felét betéve a képletbe:

tan(0.6613) =  4145 / Holdtávolság  Ebből a holdtávolság máris: 360434 km, vagyis most már 4807 métert tévedtünk csak, ami olyan 1,25% körüli érték. Nem is nagy távolság, csak mint ide Mongólia. Oda is lehet menni oltásigazolás nélkül. 

Napozz Hold nélkül - 01 szimuláció - szögmérés fotóról.

A Hold látszólagos méretét (szögben), kicsit nehéz lenne szögmérővel és függőónnal pontosan megmérni. A sextánst meg már elajándékoztuk. Ezért fényképezőgéppel mérjük. 

A Hold átmérője 3478 km, távolsága 363104 km és 405696km között változik, ezért 384400km átlagot szoktak említeni. (De persze, lehet ha sajtból van és jóval közelebb, ezért rágják meg az egerek minden hónapban)

Egy akármi annál nagyobbnak látszik, minél közelebb van, illetve minél nagyobb. Erre találtuk ezt a csuda képletet: 

δ=d / D

ahol δ radiánban a vizsgált égitest mérete (ha szorozzuk 206 264,8-cal arcsecben kapjuk, ha

meg fokban akarjuk a méretet, akkor a képlet így alakul:  δ=d / D * 57,2957795)

d - az égitest átmérője,  D - az égitest távolsága. 

Ezt felhasználva, kiszámolhatjuk a Hold látszólagos méretét a Földről. Kerekítve fél foknak szokták mondani. Átlagos távolsággal számolva:

δ=

384400

3487​

×206265   = 1871,085 arcsec / vagy 0,009 radián / vagy 0,519 fok. 

Földközelben: 0,550 fok, Földtávolban: 0,492 fok. Tehát a perigee-apogee között 1,12-szeres méretkülönbséget kellene észlelnünk fotón, úgyhogy semmiképpen sem igazak a SuperMoon lánclevelek, miszerint a Hold akkora lesz, mint, mint... na hagyjuk. Ja és az is hülyeség, hogy a felkelő Hold (sokkal) nagyobb, mint a delelő. 

Kérdés: egy fényképezőgép segítségével megmérhető e a Hold látszólagos mérete, és abból annak távolsága, ismerve a készítés idejét? 

Kis kísérlet következik arra, hogy tudunk úgy csillagászati játékot játszani, hogy ki sem tesszük a lakásból a lábunkat, ugyanis találtunk két Holdas fotót, amit ugyanazzal a lencsebeállítással készítettünk: 

A mooncalc.org oldalról tudjuk, hogy az egyik (2018.02.01 reggel 7 órakor) készült fotón, 365895km a távolság, tehát a Hold mérete 0,5446 fokos (fenti képlettel számolva). A másik, ugyanolyan lencsebeállítással (2012.04.01 délután 5 óra körül) 384871km távolságból készült, így ennek 0,5177 fokos a látszólagos mérete.

Adná magát a lehetőség, hogy kiszámoljuk a lencse adatlapjából hány pixel hány fokot fed le. Egy 23,8*15,8mm szenzor átlója 28,4mm,  amit az lencse adatlapja szerint kb 8 fok fed le. A két képen 347 illetve 331 pixeles a két Hold átmérője, eszerint 0,538 illetve 0,513 lenne a számított érték. A hiba századfok alatti, de jelentős (0,0047 és 0,0066), továbbá semmit sem tudunk a lencse adatairól, mennyire pontos a megadott 8 fok és az a szenzor mekkora tényleges területére értendő, van e párna-, vagy hordótorzítása. 

A két képen 347 illetve 331 pixeles a két Hold átmérője, ha ismerjük az egyiknek a pontos távolságát (és ebből látszólagos szögét) és ebből vezetjük le a másik képet, az csak két ezredfoknyi tévedés, így ha a 347 pixel 0,5446, akkor a 331 pixelre 0,5194 jönne ki. Ezzel az előbbi hibát megfeleztük/harmadoltuk. 

Persze a módszer pontosságát még csomó tényező is befolyásolhatja, például, hogy a kép közepére, vagy szélére esik a Hold a képeken (torzítás), eltérhetnek a lencsekorrekciók a két képen a Rawkonverzió során, vagy a Hold pixel-szélességének megítélése is erősen szubjektív. Ezek mind pár pixeles eltérést, így akár századfoknyi hibát is okozhatnak. Egy század-fok kb 6-7000km a Hold-távolságban. Egy szuperzoommal, nagyobb felbontású szenzorral, viszont jelentősen fokozható a pontosság.

Mindenesetre, egy fényképezőgéppel, amennyiben ugyanolyan beállítással van egy már bemért etalon- Holdfotónk, elég jó közelítéssel megállapítható a Hold aktuális távolsága, de semmiképpen se ennek alapján tervezz meg egy Holraszállást, mert a hibahatár mindenképpen ezer km környékén van és ennyit az űrben legyalogolni viszonylag nehéz, bár volt aki egy poroltóval már végzett hasonló mutatványt, 

sőt olyan is, aki a kesztyűje ujjából rázott ki tolóerőt.

Persze, semmi új nincs a nap alatt:

De mit csináljon az, akinek még két hasonló Holdas felvétele sincs otthon? Mennyire pontosak a számítógépes szimulációk?

Például mennyire mutatják a planetárium programok a Hold látszólagos méretváltozását? Vegyük a legközelebbi teliholdat. 2021.06.24. estéjén. (a Hold 365241km távolságban lesz a Földtől, és aznap 0,547 fokos lesz a mérete). Illetve a másik képünk legyen a fent említett 2018.02.01.-es távolság.  (365895km, tehát a Hold mérete 0,544 fokos.)

A két időpont Föld-Hold távolsága 654 kilométerben különbözik. Látszólagos szögben 3 ezredfoknyi az eltérés. Ezt nagyszerűen alátámasztja a Stellariumból kifogott képeken mért 725-720 pixeles méret is. 

Fakultatív feladat, annak, aki gyakorolni akar, egy perigee/apogee Stellarium screen-képpárt összehasonlítani, ahol a jóval nagyobb eltérések még jobban ki kell jöjjenek.